Rundungsdifferenzen in Alasco

Themenüberblick

• Gründe, warum es in seltenen Fällen in Alasco vorkommen kann, dass beim berechneten Bruttobetrag oder beim Aufsummieren von Beträgen Abweichungen gegenüber von Hand ermittelten Werten entstehen

Die Gründe für Rundungsdifferenzen sind vielfältig

1. Technische Gründe

Auch, wenn es oft danach aussieht, können Computer keine unendlich langen Zahlen abspeichern, da jede Stelle einer Zahl eine geringe Menge Speicherplatz benötigt. Aus diesem Grund existieren verschiedene Datentypen mit unterschiedlich vielen Nachkommastellen, um Berechnungen möglichst genau durchführen zu können. Die Auswahl eines bestimmten Datentyps zum Speichern von Werten resultiert aus einer Abwägung zwischen Genauigkeit und Rechengeschwindigkeit.
In Alasco speichern wir die Zahlen mit zwölf Nachkommastellen ab, um eine hohe Genauigkeit der berechneten Werte gewährleisten zu können.

Zu Rundungsdifferenzen kommt es in der Regel bei Werten, die das Ergebnis von Berechnungen im System sind. Aus diesem Grund sind hier vor allem Bruttobeträge, die sich aus dem Nettobetrag und dem Steuersatz errechnen sowie Summen in Listen betroffen.

Wenn zwei Zahlen, die bereits Nachkommastellen haben, miteinander multipliziert werden, kann es oft dazu kommen, dass viele weitere Nachkommastellen entstehen. Diese werden aber vom System automatisch bis auf die 12. Nachkommastelle gerundet, wodurch bereits hier minimale, aber unvermeidbare Rundungsdifferenzen entstehen können. Folgendes Beispiel soll die Thematik noch einmal verdeutlichen:

• 127,955181 wird zu 127,9552 (Differenz +0,000019)
• 127,454443 wird zu 127,4544 (Differenz -0,000043)

Werden solche Zahlen nun für weitere Berechnungen verwendet, können sich vorangegangene Rundungsdifferenzen fortpflanzen, da hier bereits gerundet wurde. Bei Alasco versuchen wir unsere Zwischenergebnisse bei Berechnungen so selten wie möglich zu runden, um Ihnen die größtmögliche Genauigkeit Ihrer Daten zu gewährleisten.

Einen weiteren Grund für Rundungsdifferenzen stellt die anschließende kaufmännische Darstellung der berechneten Zahlen in Alasco mit zwei Nachkommastellen nach dem symmetrischen Runden dar:

• 127,9552 wird zu 127,96 € (Differenz +0,0048)
• 127,4544 wird zu 127,45 € (Differenz -0,0044)

Diese nicht mehr angezeigten Nachkommastellen berechneter Werte sind aber trotzdem noch im Hintergrund abgespeichert und werden in weitere Berechnungen mit einbezogen, um Ihnen bei Folgewerten eine hohe Genauigkeit zu bieten.
Aus diesem Grund kann es in seltenen Fällen vorkommen, dass auch bei scheinbaren 0,00€ Beträgen, wie zum Beispiel im unten gezeigten Mittelabflussplan eine Summe von 0,01€ in Alasco angezeigt wird.

Würden wir diese verborgenen Nachkommastellen einfach aus dem System löschen und nur noch mit den angezeigten Werten rechnen, würden dafür an anderer Stelle im System (z.B. der Budgetverteilung) unvermeidbare Rundungsdifferenzen auftreten.

2. Angewandte Rundungsregel

Kaufmännisches Runden

Das kaufmännische Runden wird durch die Norm DIN 1333 "Zahlenangaben" definiert und ist die Rundungsregel, die auch bereits in der Grundschule gelehrt wird. Demnach wird ein positiver oder negativer Betrag nach den folgenden beiden Regeln gerundet:

1. Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle eine 0, 1, 2, 3 oder 4, wird abgerundet.
2. Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle eine 5, 6, 7, 8 oder 9, wird aufgerundet.

Folgende Beispiele sollen die beiden Regeln mit Beträgen gerundet auf zwei Nachkommastellen verdeutlichen:

• 12,3749… € ≈ 12,37 €
• 12,3750… € ≈ 12,38 €
• −12,3749… € ≈ −12,37 €
• −12,3750… € ≈ −12,38 €

Beim kaufmännischen Runden kann es vorkommen, dass bestimmte Werte positiv verzerrt werden. Das bedeutet, dass Sie bei negativen Beträgen (Abzügen) manchmal einen Cent bei der Auszahlung sparen können.

Symmetrisches Runden

Das symmetrische Runden unterscheidet sich vom kaufmännischen Runden nur in der Entscheidung, wie eine Zahl, deren erste wegfallende Dezimalstelle genau in der Mitte zwischen 4 (Abrunden) und 5 (Aufrunden) liegt, gerundet wird.

Folgende Regeln definieren das symmetrische Runden:

1. Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle eine 0, 1, 2, 3 oder 4, wird wie beim kaufmännischen Runden abgerundet.
2. Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle eine 5, 6, 7, 8 oder eine 9 (gefolgt von weiteren Ziffern, die nicht alle null sind), wird aufgerundet.
3. Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle lediglich eine 5 (oder eine 5, auf die nur Nullen folgen), so wird derart gerundet, dass die letzte beizubehaltende Ziffer gerade wird („Gerade-Zahl-Regel“).

Folgende Beispiele sollen die drei Regeln mit Beträgen gerundet auf zwei Nachkommastellen verdeutlichen:

• 2,12499 ≈ 2,12 (nach Regel 1)
• 2,12501 ≈ 2,13 (nach Regel 2)
• 2,12500 ≈ 2,12 (nach Regel 3 zur geraden Ziffer hin gerundet)
• 2,13500 ≈ 2,14 (nach Regel 3 zur geraden Ziffer hin gerundet)

Das kaufmännische Runden erzeugt kleine systematische Fehler, da das Aufrunden um 0,5 vorkommt, das Abrunden um 0,5 jedoch nie, was bei Statistiken zu einer geringfügigen Verzerrung führen kann. Die symmetrische Rundung rundet von der genauen Mitte zwischen zwei Ziffern immer zur nächsten geraden Ziffer auf oder ab.

Diese Art der Rundung wird auch in Alasco verwendet, da das symmetrische Runden bei der Addition von vielen gerundeten Werten dabei hilft, die Abweichung von der ungerundeten Summe minimal zu halten.

3. Addieren von Spalten oder Zeilen (Positionseben oder Gesamtsumme)

Bei der Berechnung des Bruttobetrags einer Rechnung haben Sie grundsätzlich zwei verschiedene Möglichkeiten. Entweder Sie berechnen die Steuer nach dem vorgegebenen Steuersatz zeilenweise für jede Position der Rechnung und summieren diese anschließend auf, oder Sie bilden zunächst die Nettogesamtsumme und berechnen daraus die Steuer sowie den Gesamtbruttobetrag.

Folgendes Beispiel soll die Unterschiede der beiden Vorgehensweisen verdeutlichen und Ihnen zeigen, dass es hier zu unvermeidlichen Differenzen kommen kann.
Eine Rechnung enthält drei Rechnungspositionen, jeweils mit einem Nettobetrag von 0,99€. In diesem Beispiel wird der Bruttobetrag einmal zeilenweise und einmal aufgrund des Gesamtnettobetrags berechnet. Wie Sie sehen entsteht hier allein durch die beiden unterschiedlichen Vorgehensweisen eine Differenz von 0,01€.

Welche Regeln und Entscheidungen liegen in der Baubranche zu dieser Thematik vor?

Im Bereich der Mengenermittlung gibt es einige Regelwerke, die Vorschriften in Bezug auf die anzugebenden Nachkommastellen und die anzuwendenden Rundungsregeln enthalten.

1. Im aktuellen Vergabe- und Vertragshandbuch für die Baumaßnahmen des Bundes (VHB 2017; Stand: Juli 2019) finden sich keine Angaben zu Nachkommastellen bei Mengen. Eine Angabe zu Nachkommastellen findet sich nur auf Preise bezogen. Hier sind maximal drei Nachkommastellen möglich.
   
   
2. Die Sammlung der Regelungen für die elektronische Bauabrechnung (REB-VB 23.003) "Allgemeine Mengenberechnung" regelt Mengenberechnungen und Datenaustausch. Hier ist in Abschnitt 2.4 Rundung gefordert, auch Mengen mit drei Nachkommastellen anzugeben.
   
   
3. In der Norm DIN 1333 "Zahlenangaben" wird als Anwendungsbereich und Zweck definiert, dass die Norm festlegt, wie Zahlen im täglichen Leben in Wirtschaft, Technik und Wissenschaft geschrieben werden sollen. Der letzte Satz dieses Abschnitts besagt:
   "Diese Norm gilt nicht für die interne Zahlendarstellung von Computern."
   Die DIN 1333 gesteht auch in Kapitel 4.2 "Festlegen der Rundestelle" zu:
   "Die Rundestelle kann … sich aus technischen Gründen ergeben (letzte Stelle der Ergebnisablage im Speicher einer Datenverarbeitungsanlage)."

RECHTLICHES